Визначення числової функції. Область визначення, область значень

19.09.2015

Матеріал з Гіпермаркет знань

Гіпермаркет знань >>Математика >>Математика 9 клас >>Математика: Визначення числової функції. Область визначення, область значень функції

Означення числової функції. Область визначення, область значень функції

За два роки вивчення шкільного курсу алгебри ви вже звикли до того, що термін «функція» використовується практично постійно. Це і зрозуміло: адже математика вивчає математичні моделі. а опис більшості цих моделей на математичному мові так чи інакше пов’язане з функціями. Але в математиці діє закон: якщо використовується якийсь термін, то його треба точно визначити. За два роки вивчення курсу алгебри ми з вами накопичили достатньо багато прикладів, які підтверджують цей закон. Так, у 7-му класі ми ввели термін «степінь з натуральним показником», точно визначивши його: «під a 2. де n = 2, 3, 4. розуміється добуток n множників, кожний з яких дорівнює; під а 1 розуміється саме число а». У 8-му класі ми ввели термін «квадратний корінь з ненегативного числа», давши йому точне визначення: Визначення числової функції. Область визначення, область значень
це таке невід’ємне число, квадрат якого дорівнює a». І так далі і тому подібне — ви самі можете навести аналогічні приклади.

В той же час були випадки, коли ми вводили термін і починали ним користуватися, але точного визначення не формулювали, обмежуючись приблизними тлумаченням терміна. Так було, зокрема, з терміном «функція». Чому ж ми у 7-му класі, як тільки стали використовувати поняття функції, не сформулювали точне визначення, чому не зробили цього і в 8-му класі?

Справа в тому, що історія розвитку математики показує: поняття, які людство активно і тривалий час використовувало як робочий інструмент, не замислюючись про те, як його визначити. Лише накопичивши необхідний досвід в роботі з тим чи іншим поняттям, математики починали думати про його формальному визначенні. Зрозуміло, не завжди перші спроби визначити те чи інше поняття, начебто зрозуміла на інтуїтивному рівні, виявлялися вдалими, їх доводилося згодом доповнювати, уточнювати. Так було і з поняттям функції .

Проаналізуємо наш досвід роботи з терміном «функція». У 7-му класі ми ввели термін «лінійна функція», розуміючи під цим рівняння з двома змінними спеціального виду у = кх + m і розглядаючи змінні хі як нерівноправні: х — незалежна змінна, у — залежна змінна. Потім задалися питанням: а не зустрічаються при описі реальних процесів математичні моделі подібного виду, але такі, у яких виражається через х не за формулою у = кх + m, а за якою-небудь іншою формулою? Відповідь на це питання було отримано відразу: зустрічаються. У 7-му класі, крім згаданої лінійної функції, ми вивчили математичну модель у = х 2. у 8-му класі додали до них моделі Визначення числової функції. Область визначення, область значень

Поступово ми почали усвідомлювати, що, вивчаючи який-небудь реальний процес, зазвичай звертають увагу на дві змінні величини, що беруть участь у ньому (у більш складних процесах беруть участь більше двох величин, але ми такі процеси поки що не розглядали). Одна з них змінюється як би сама по собі, незалежно ні від чого (таку змінну найчастіше позначають буквою x), а інша змінна приймає значення, кожне з яких якимось чином залежить від вибраного значення змінної х (таку залежну змінну найчастіше позначають буквою в). Математичною моделлю реального процесу як раз і є запис на математичному мові залежності у від х: у = fх). Такі математичні моделі ми називали функціями.

Математична модель у = f(х) зазвичай доповнюється вказівкою на те, з якого числового безлічі беруться значення незалежної змінної х. Наприклад, ми говорили про функції Визначення числової функції. Область визначення, область значень
. маючи на увазі, що Визначення числової функції. Область визначення, область значень
(графік функції зображено на рис. 42), але ми розглядали і функцію Визначення числової функції. Область визначення, область значень
(графік функції зображено на рис. 43). Це різні математичні моделі, значить, і різні функції.

Використання математичної моделі виду у = f(x) виявляється зручним у багатьох випадках, зокрема тоді, коли реальний процес описується різними формулами на різних проміжках зміни незалежної змінної. Ось одна з таких функцій: у = g <х), де Визначення числової функції. Область визначення, область значень

Графік функції зображено на рис. 44. Пам’ятаєте, як будувати такі графіки? Спочатку треба побудувати параболу у = х 2 і взяти її частину при Визначення числової функції. Область визначення, область значень
(ліва гілка параболи), потім побудувати пряму у = 2х і взяти її частину при х > 0. І, нарешті, треба обидві виділені частини об’єднати на одному малюнку, тобто побудувати на одній координатній площині. Цей приклад (або аналогічні) ми розглядали і в 7-му та 8-му класах.

Так що ж таке функція? Проведений вище аналіз і наш досвід вивчення конкретних функцій у 7-му та 8-му класах дозволяють виділити два істотних моменти.

1. Запис у = f(х) являє собою правило (зазвичай кажуть «правило f»), з допомогою якої, знаючи конкретне значення незалежної змінної х, можна знайти відповідне значення змінної у.

2. Вказується числове безліч X (найчастіше якийсь числовий проміжок), звідки беруться значення незалежної змінної х.

Тепер ми можемо сформулювати одне з головних визначень шкільного курсу алгебри (так, мабуть, і всієї математики).

Означення 1.

Якщо дано числове безліч X і правило f, що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу х множини X певне число у, то кажуть, що задана функція у = f(х) з областю визначення X; пишуть у = f(x), х є X. При цьому змінну х називають незалежною змінною або аргументом, а змінна у — залежною змінною.

Зауваження.

У реальному житті ми часто говоримо: «які мої функції» або «які мої функціональні обов’язки», — питаючи тим самим відповідно: «яке коло моїх дій, моїх обов’язків» або «що я повинен робити, як діяти». Фактично в реальному житті слово «функція» означає «дія» або «правила дій». Зверніть увагу, що фактично той же зміст має і математичний термін «функція», який ми роз’яснили вище визначення 1.

Якщо f(х) — алгебраїчне вираз і безліч X збігається з областю визначення цього виразу, то діє угода: замість запису у = f(x), x є X, використовується більш короткий запис: у = f(х), хоча, підкреслимо, такий запис не зовсім відповідає визначенню 1. Але математики намагаються бути економними у всьому: і у вживанні слів у формулюваннях і в записах математичних тверджень.

Для області визначення функції у = f(х), х є X, іноді зручно використовувати позначення D(f). Наприклад:

Ще раз підкреслимо, що не можна говорити про функції у = f(x) без зазначення її області визначення, яка або вказується явно, або мається на увазі — у разі, якщо область визначення функції у = f(x) збігається з областю визначення виразу f(x) (таку область визначення іноді називають природною).

Приклад 1.

Знайти область визначення функції:

Рішення.

а) Так як область визначення функції явно не вказано, припускається, що вона збігається з областю визначення виразу Визначення числової функції. Область визначення, область значень
Таким чином, мова йде про пошук природній області визначення функції. Під знаком квадратного кореня може перебувати тільки невід’ємне число, отже, завдання зводиться до вирішення квадратного нерівності

Зверніть увагу, що точки 2 і 4 відзначені зафарбованими кружками; їх слід включити у відповідь, оскільки задану нерівність — нестроге.

б) Функція Визначення числової функції. Область визначення, область значень
визначена в будь-якій точці х, за винятком точок 2 і 4 — при цих значеннях х знаменник дробу звертається до 0. Відповідь можна записати так:

Втім, на практиці можна використовувати скорочену запис: Визначення числової функції. Область визначення, область значень

в) Тут задача зводиться до розв’язування нерівності х2 — 6х + 8 > 0.

Скориставшись геометричною моделлю, представленої на рис. 45, але виключивши з розгляду точки х — 2 і х = 4, отримаємо Визначення числової функції. Область визначення, область значень

Означення 2.

Безліч всіх значень функції у = f(x), x є X, називають областю значень функції і позначають Е(f).

Якщо відомий графік функції, область значень функції знайти порівняно неважко. Для цього досить спроектувати графік на вісь ординат. То числове безліч, геометрична модель якого вийде на осі ординат в результаті зазначеного проектування, і буде представляти собою Е(f)- Наприклад:

Завершуючи цей параграф, розглянемо приклад, який у певному сенсі є підсумком сказаного.

Приклад 2.

Дана функція у = f(x), де

а) Знайти D (f);

б) обчислити f (-2), f (0), f (2), f (3,2), f (4), f (5);

в) знайти Е (f).

Рішення.

а) Область визначення функції складається з трьох проміжків: (-оо, 0], (0, 2] та (2, 4]. Поєднуючи їх, отримуємо луч-го, 4].

в) Область значень функції, як ми вже зазначили вище, найзручніше знаходити за допомогою графіка функції. Побудова графіка здійснимо «по шматочках». Спочатку побудуємо параболу у = -х 2 і виділимо її частина на лучі (-оо, 0] (рис. 46). Потім побудуємо пряму у = х + 1 і виділимо її частина на напівінтервалі (0, 2] (рис. 47). Далі побудуємо пряму у — 3 і виділимо її частина на напівінтервалі (2, 4] (рис. 48). Нарешті, всі три шматочка зобразимо в одній системі координат — це і буде графік функції у = f (х) (рис. 49).

Короткий опис статті: політика визначення числової функції, Область визначення, область значень функції, математичні моделі, ступінь, функції, лінійною, змінної, Графік функції, вираз, квадратного кореня, дробу, промінь, координат

Джерело: Визначення числової функції. Область визначення, область значень функції — Гіпермаркет знань

Також ви можете прочитати